戴森球计划太阳帆弹射器部署方法 太阳帆发射指南

三、简化模型和目标点的天顶角

1.简化模型

来看看能够忽略掉哪些影响因素。

第一个是行星的轨道倾角λ，这个倾角一般都非常小(<10°)，导致行星的纵坐标一般不会超过±0.003r的范围。所以可以认为行星的公转轨道就在黄道平面上。而如果轨道倾角λ=0，那么轨道与黄道平面交点经度μ也就没有实际意义了，取任何值都行，可以一样取为0。于是行星位置就被简化为(cosω，sinω，0)。

第二个是弹射器位置与行星中心的相对位移PE。根据设定，行星半径|PE|=200m，但即使距离恒星最近的行星其轨道半径也是近万米，常见的轨道都在0.5AU以上，相差两个量级。所以对目标点位置影响最大的是行星自身的位置，弹射器在行星上的具体位置影响非常弱：OT/R=n×(OP+PE)/|OP+PE|=n×OP/|OP+PE|+n×PE/|OP+PE|，|PE|远小于|OP|时，|OP+PE|→|OP|，n×PE/|OP+PE|=|PE|/ |OP+PE|→0，所以可以直接使用n×OP来计算目标点的方向向量。

简化后的目标点为

目标点有两个值得讨论的地方：

1.显然目标点的位置是随着行星的公转(由ω决定具体位置)而变化的。

但这种变化并非匀速——轨道倾角越高，在越靠近黄道平面的部分动得越快，也就是一年中的大部分时间目标点都会位于轨道距黄道平面较远的那部分。极端情形是90°倾角的轨道(也就是垂直于黄道平面)，此轨道全年的目标点都在上下两个端点附近，行星过升交角经度时切换。

2.目标点的全轨道变化使得高纬度地区的弹射器有时会陷入麻烦。

例如如果是北半球的高纬度弹射器，可能无法向黄道平面以下较远的目标点发射，导致其有相当一部分时间都处于哑火状态。特别是如果轨道安排得很尴尬，导致北半球的夏季目标点在黄道平面以下，冬季在黄道平面以上，会严重影响弹射器的工作效率，地轴倾角较小的行星则比较省心。

目标点表达式前面带的根号很麻烦，可以将前面的整个系数记为M。

2.目标点的天顶角

下面来计算天顶角τ(弹射器对目标点的朝向与弹射器正头顶方向的夹角)，天顶角的余角就是目标点的仰角，因此弹射器的可发射范围是30°<τ<85°的时候。

得益于游戏将行星简化为一个完美球形(而不是方形)，弹射器自身的天顶方向单位向量很容易确定：各分量就等于弹射器本地坐标除以行星半径a，。

在弹射器处，目标点的视向向量可以近似为PT=OT-OP，即(-Mcosθsinω-rcosω，Mcosθcosω-rsinω，Msinθcos(ω-η))，该向量模长平方为R²+r²。

从而目标点天顶角τ满足cosτ=PT·i/|PT|。得到

这个表达式包含两项运动而且带有根式，仍然不好做解析的分析，所以先从简单类型的行星搞起。