戴森球计划太阳帆弹射器部署方法 太阳帆发射指南

四、一般行星

直接从一般行星的天顶角表达式入手很难，但是我们可以先不直接考虑天顶角，而是去求目标点和恒星在弹射器处的视向关系。

其实从目标点的计算方法中可以看到。目标点、恒星、行星之间构成了一个直角三角形，在行星处的夹角为arctan(R/r)，这也可以说是在弹射器处恒星与目标点的视张角(弹射器的具体位置对三角形的影响很小)。如果R远小于r，那么自然退回到以恒星高度角代替目标点天顶角余角的情形中去。OT=OP+PT=(-Mcosθsinω，Mcosθcosω，Msinθcos(ω-η))，该向量的模长固定。故在弹射器看来，目标点一年的视运动也是一个围绕恒星的圆周运动，在一天中随着恒星一起升落。弹射器视运动的方向与轨道面法向有关。

1.恒星的视运动

(原图来自网络)

恒星的运动轨迹是平面S与天球的交，地平面为G，南北-东西线交点是观测点。图中虚线所示为北半球极昼区域的恒星视运动(这个视运动是匀速的)。向赤道区域走北侧轨迹会下沉，南侧上升，恒星位于地平面以下时就是夜晚。

目标点的视运动区域必定在两条红线之间。

恒星高度角φ取决于当地纬度α和恒星直射点纬度δ(同样是北纬正南纬负)，满足sinφ=sinαsinδ-cosαcosδcos(2πt/K)。

2.估计可用时间的下限

而恒星高度角φ与目标点天顶角τ的关系为

90°-τ-ζ≤φ≤90°-τ+ζ

ζ=arctan(R/r)，

30°≤τ≤85°的充分(不必要)条件是min(5°+ζ，60°-ζ)≤φ≤max(5°+ζ，60°-ζ)。我们的问题是如何选取α

使得满足以下判据的t的区间Δt最长。

求解Δt得到的是一个还算齐整但也不好算的表达式。

形式虽然仍对解析不友好，但是到这里已经可以做下数值求解了。

取a=0.2，b=0.82(对应ζ=5°)，可以获得下图：

而如果对应ζ=30°，则有：

纵坐标已经转化为一天中可发射时间与自转周期之比。

需要说明的是两图最上方和最下面的曲线两端翘起部分是因为在该区间下反余弦函数内的分母会急剧减小，计算机不会算极限导致数值膨胀，实际趋势是向下的。

从图中可见：

1.恒星直射角变化的影响是将该曲线进行旋转。也就是说，地轴倾角越大，该曲线一年中越能“颠来倒去”，所以大地轴倾角(>20°)的行星可以考虑在南北对称布置弹射器，或者扔在全年不亏的低纬度地区(<20°)。

2.在任一纬度处画一条竖线，与各曲线的交点可以看作是该纬度上弹射器发射占比在一年中的变化。可见全年都有较大发射范围的优势区域随太阳帆轨道半径与行星轨道半径R/r之比的增大而向低纬度收缩。小半径轨道优势区域在20°-40°的中纬度，大半径轨道优势区域则是南北纬10°之内。

以上结论有一点要注意：上述讨论的发射占比是“下限”，实际根据轨道形态、升交角经度与行星冬夏季节的关系在一些地方可以产生额外的发射窗口。